Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；

（2）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）若對任意及任意，恒有成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）極小值為1,無極大值；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

（1）當(dāng)時，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的極值；

（2）時，求得函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分類討論，即可求得函數(shù)的單調(diào)性，得到答案；

（3）由（2）知當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，求得，

得到，令，轉(zhuǎn)化為對恒成立，從而求出m的范圍．

（1）由題意得，函數(shù)定義域為，

當(dāng)時，函數(shù)，則，

令，解得；令，解得，

所以函數(shù)在區(qū)間上遞減，在上遞增．

所以當(dāng)時，有極小值為．

（2）當(dāng)時，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

當(dāng)時，解得和．

①當(dāng)時，恒成立，此時在上遞減；

②當(dāng)，即時，

令，解得，令，解得，

所以在上遞增，在和上遞減；

③當(dāng)，即時，

令，解得，令，解得或，

所以在上遞增，在和上遞減．

（3）由（2）知當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以，

要使對任意，恒有成立

則有，

即對任意成立，即對任意成立，

令，則對恒成立，

所以在上單調(diào)遞增，所以，

故m的取值范圍為．