Question

【題目】在正方體中，棱長為2，分別為棱的中點，為底面正方形內一點（含邊界）且與面所成角的正切值為，直線與面的交點為，當到的距離最小時，則四面體外接球的表面積為___________.

Answer 1

【答案】

【解析】

根據線面角的正切值確定M的軌跡，建立空間直角坐標系求出N的坐標，求出半徑即可得解.

與面所成角的正切值為，

根據正方體性質可得：與面所成角就是

所以，所以M的軌跡為平面內以B為圓心，為半徑的圓周上位于底面正方形內（含邊界），圓周與線段BD交點為，

直線與面的交點為，當到的距離最小時，即點為與的交點，

以A為原點，AB，AD，AA1分別為x，y，z軸正方向建立空間之間坐標系如圖所示：

設，

點為與的交點，所以，

，

解得，

所以，設四面體外接球球心O，，

所以O在過BD中點且垂直于平面ABCD的直線上，

設，

解得：，所以，

球的表面積為：.

故答案為：