Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，，過點作平面的垂線，垂足為與的交點，是線段的中點.

（1）求證：DE//平面；

（2）若四棱錐的體積為，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）取的中點，根據中位線定理可知且，根據題意可得且,進一步可知，然后根據線面平行的判定定理，可得結果.

（2）根據四棱錐的體積，可得，通過建立空間直角坐標系，求得，并得到平面的一個法向量，然后簡單計算，可得結果.

證明：（1）取的中點，分別連接，

如圖

因為是的中點，是的中點，

所以是的中位線，

所以且.

在平面內，知，，

又，，所以//，且.

所以四邊形是平行四邊形，

所以，又平面，平面，

所以平面；

（2）以點為原點，以平行于的直線為軸，

以平行于的直線為軸，以直線為軸，

建立如下圖所示的空間直角坐標系.

設點，則，.

所以有點.

因為四棱錐的體積為，

所以，解得，則.

又為中點知，則點坐標為.

又點的坐標是，所以.

平面的一個法向量.

設直線與平面所成角為，

則.