Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知∠B=30°，△ABC的面積為

3

2

．
（Ⅰ）當a，b，c成等差數列時，求b；
（Ⅱ）求AC邊上的中線BD的最小值．

Answer 1

考點：余弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）由題意可得a+c=2b，ac=6，由余弦定理可得b的方程，解方程可得；
（Ⅱ）易得

BD

=

BA + BC

2

，故|

BD

|=

( BA + BC 2 )2

a2+c2+ 3 ac

2

≥

2ac+ 3 ac

2

，代值計算可得．

解答： 解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差數列，∴a+c=2b，
∵∠B=30°，△ABC的面積S=

1

2

acsinB=

3

2

，∴ac=6
∴b²=a²+c²-2acsinB=a²+c²-

3

ac
=（a+c）²-（2+

3

）ac
=4b²-（2+

3

）ac=4b²-6（2+

3

），
∴3b²=6（2+

3

），解得b=1+

3

（Ⅱ）∵

BD

=

BA + BC

2

，∴|

BD

|=

( BA + BC 2 )2

=

BA 2+ BC 2+2 BA • BC

2

=

a2+c2+ 3 ac

2

≥

2ac+ 3 ac

2

=

12+6 3

2

=

3+ 3

2

當且僅當a=c=

6

時取等號，
∴AC邊上的中線BD的最小值為

3+ 3

2

．

點評：本題考查余弦定理和基本不等式，涉及向量的運算和三角形的面積公式，屬中檔題．