Question

過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一個焦點F且垂直于x軸的直線交橢圓于點(-1，

2

2

)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）橢圓C的左、右頂點A、B，左、右焦點分別為F₁，F₂，P為以F₁F₂為直徑的圓上異于F₁，F₂的動點，問

AP

•

BP

是否為定值，若是求出定值，不是說明理由？
（3）是否存在過點Q（-2，0）的直線l與橢圓C交于兩點M、N，使得|FD|=

1

2

|MN|（其中D為弦MN的中點）？若存在，求出直線l的方程：若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）由題設知c=1，

1

a2

+

1

2b2

=1①，又a²=b²+c²，即a²=b²+1②，
聯立①②解得a²=2，b²=1，
所以橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1；
（2）由（1）知，A（-

2

，0），B（

2

，0），F₁（-1，0），F₂（1，0），
設P（x₀，y₀）（x₀≠±1），則

F1P

=（x₀+1，y₀），

F2P

=（x₀-1，y₀），
因為P為以F₁F₂為直徑的圓上的動點，所以

F1P

⊥

F2P

，即

F1P

•

F2P

=0，
所以（x₀+1）（x₀-1）+y₀²=x02+y02-1=0，即x02+y02=1，
所以

AP

•

BP

=（x0+

2

，y₀）•（x0-

2

，y₀）═（x0+

2

）•（x0-

2

）+y₀²=x02+y02-2=1-2=-1．
故

AP

•

BP

是定值，為-1．
（3）假設存在滿足條件的直線l，設直線l的方程為y=k（x+2），
由

y=k(x+2) x2 2 +y2=1

得（2k²+1）x²+8k²x+8k²-2=0，則△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，即k2＜

1

2

③，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=

-8k2

2k2+1

，x1x2=

8k2-2

2k2+1

，
由D為弦MN的中點，且|FD|=

1

2

|MN|，得FM⊥FN，即

FM

•

FN

=0，
所以（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=（x₁+1）•（x₂+1）+y₁y₂=x₁x₂+x₁+x₂+1+k²（x₁+1）（x₂+1）=0，即（k²+1）x₁x₂+（2k²+1）（x₁+x₂）+4k²+1=0，
所以（k²+1）•

8k2-2

2k2+1

+（2k²+1）•

-8k2

2k2+1

+4k²+1=0，
解得k2=

1

2

，不滿足③式，
故不存在這樣的直線l．