Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x﹣y+ =0相切，過點P（4，0）且不垂直于x軸直線l與橢圓C相交于A、B兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求 的取值范圍；
（3）若B點關于x軸的對稱點是E，證明：直線AE與x軸相交于定點．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知， ， 即b=

又a2=b2+c2

∴a=2，b=

故橢圓的方程為

（2）解：由題意知直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=k（x﹣4）

由 可得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0

設A（x1，y1），B （x2，y2），則△=322k4﹣4（3+4k2）（64k2﹣12）＞0

∴

∴x1+x2= ，x1x2= ①

∴ =x1x2+y1y2=

=

=

=

∵

∴

∴

∴

（3）證明：∵B，E關于x軸對稱

∴可設E（x2，﹣y2）

∴直線AE的方程為

令y=0可得x=

∵y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）

∴ = =1

∴直線AE與x軸交于定點（1，0）

【解析】（1）由題意知， ，利用點到直線的距離公式可求b，結合a2=b2+c2可求a，即可求解（2）由題意設直線l的方程為y=k（x﹣4），聯立直線與橢圓方程，設A（x1 ， y1），B （x2 ， y2），根據方程的根與系數關系求出x1+x2 ， x1x2 ， 由△＞0可求k的范圍，然后代入 =x1x2+y1y2= = 中即可得關于k的方程，結合k的范圍可求 的范圍（3）由B，E關于x軸對稱可得E（x2 ， ﹣y2），寫出AE的方程，令y=0，結合（2）可求
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解橢圓的標準方程的相關知識，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．