Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，且與拋物線交于，兩點， （為坐標原點）的面積為．

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，點為橢圓上一動點（非長軸端點），為左、右焦點，的延長線與橢圓交于點，的延長線與橢圓交于點，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)由題意求得a,b,c的值即可確定橢圓方程；

(2)分類討論直線的斜率存在和斜率不存在兩種情況，聯立直線方程與橢圓方程，結合韋達定理和均值不等式即可確定三角形面積的最大值.

（1）橢圓與拋物線交于，兩點，

可設，，

∵的面積為，

∴，解得，∴，，

由已知得，解得，，，

∴橢圓的方程為.

（2）①當直線的斜率不存在時，不妨取，，，故

；

②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，，，

聯立方程，化簡得，

則，

，，

，

點到直線的距離，

因為是線段的中點，所以點到直線的距離為，

∴

∵，又，所以等號不成立.

∴，

綜上，面積的最大值為.