Question

若，其中.
（1）當時，求函數在區間上的最大值；
（2）當時，若恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：本題主要考查導數的運算，利用導數研究函數的單調性，最值和不等式等基礎知識，考查函數思想，分類討論思想，考查綜合分析和解決問題的能力.第一問，當時，函數解析式確定，并不是分段函數，這就降低了試題的難度，求導數，判斷所求區間上函數的單調性，再求最值，第一問較簡單；第二問，由于函數是分段函數，所以根據函數定義域把所求區間從斷開，充分考查了分類討論思想，求出每段范圍內函數的最小值來解決恒成立問題.
試題解析：（1）當，時，，
∵，∴當時, ,
∴函數在上單調遞增,
故.(4分)
（2）①當時，，，
∵，∴，∴在上為增函數，
故當時，；
②當時，，，
（ⅰ）當即時，在區間上為增函數，
當時，，且此時；
（ⅱ）當，即時，在區間上為減函數，在區間上為增函數，
故當時，，且此時；
（ⅲ）當，即時，在區間上為減函數，
故當時，.
綜上所述，函數在上的最小值為
由，得；由，得無解；，得無解；
故所求的取值范圍是.（12分）