Question

【題目】已知橢圓 的中心在原點，離心率為 ，右焦點到直線 的距離為2.
（1）求橢圓 的方程；
（2）橢圓下頂點為 ，直線 （ ）與橢圓相交于不同的兩點 ，當 時，求 的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）解: 設橢圓的右焦點為 ，依題意有

又 ，得 , 又 ，

橢圓 的方程為

（2）解: 橢圓下頂點為 ，由 消去 ，得

直線與橢圓有兩個不同的交點

，即

設 ，則

中點坐標為

， ， ，即

得 把 代入 ，

得 ，解得 的取值范圍是

【解析】(1)由已知條件求出橢圓的焦點坐標，結合點到直線的距離公式得出c的值由離心率的值求出a的值，再利用橢圓里的關系得到b的值進而得出橢圓的方程。(2)由題意設出直線的方程與橢圓的方程聯立，消去y得到關于x的方程借助韋達定理求出 x1 + x2、 x1x2 關于m的代數式，利用中點坐標的公式求出點D的坐標，結合題意中的垂直關系得出k AD kMN = 1
得到k和m的關系式，代入上式得到關于m的不等式組解出m的取值范圍。