Question

設f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，且其圖象上任意兩點連線的斜率均小于零．
（1）證明f（x）在[-1，1]上是減函數；
（2）如果f（x-c），f（x-c²）的定義域的交集為空集，求實數c的取值范圍；
（3）證明：若-1≤c≤2，則f（x-c），f（x-c²）存在公共的定義域，并求出這個公共的定義域．

Answer 1

分析：（1）由已知對任意的x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，從而x₁-x₂與f（x₁）-f（x₂）異號，所以f（x）在[-1，1]上是減函數．
（2）由f（x-c）的定義域得f（x-c²）的定義域，根據題目條件可得關于c的不等式，通過求解可得c的取值范圍．
（3）有（2）問可知：當-1≤c≤2時，f（x-c），f（x-c²）存在公共的定義域．若c²-1≤c+1，即1≤c≤2或-1≤c≤0時，c²+1≥c+1，c²-1≥c-1，此時的交集是[c²-1，c+1]；若0＜c＜1，則c²+1＜c+1，c²-1＜c-1，此時的交集是[c-1，c²+1]

解答：解：（1）由已知對任意的x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁≠x₂，
都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，從而x₁-x₂與f（x₁）-f（x₂）異號，
所以f（x）在[-1，1]上是減函數．
（2）因為f（x-c）的定義域是[c-1，c+1]，f（x-c²）的定義域是[c²-1，c²+1]，
因為以上兩個集合的交集為空集，所以c²-1＞c+1或c²+1＜c-1解得：c＞2或c＜-1
（3）因為c²+1＞c-1恒成立，有（2）問可知：當-1≤c≤2時，
f（x-c），f（x-c²）存在公共的定義域．
若c²-1≤c+1，即1≤c≤2或-1≤c≤0時，c²+1≥c+1，c²-1≥c-1，此時的交集是[c²-1，c+1]，即為公共的定義域；
若0＜c＜1，則c²+1＜c+1，c²-1＜c-1，此時的交集是[c-1，c²+1]，即為公共的定義域．

點評：本題考查了函數單調性的判斷與證明，函數的定義域及其求法，注意對題目條件的靈活轉化，是個中檔題．