Question

【題目】已知函數f（x）＝（x﹣1）ex+ax2（a∈R）．

（1）若a＝e，求函數f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；

（2）討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

【答案】（1）3ex﹣y﹣2e＝0（2）①當a≥0時， y＝f（x）在（﹣∞，0）上為減函數，在（0，+∞）上為增函數；

②當時y＝f（x） 在 （﹣∞，ln（﹣2a）），（0，+∞）上為增函數，在（ln（﹣2a），0）上為減函數；

③若時，y＝f（x）在上為單調遞增的；

④若時，y＝f（x）在（﹣∞，0），（ln（﹣2a），+∞）上為增函數，在（0，ln（﹣2a）） 上為減函數．

【解析】

（1）由a＝e得f（x）＝（x﹣1）ex+ex2．再＝xex+2ex，分別求得，f（1），用點斜式寫出切線方程.．

（2）根據＝x（ex+2a），分a≥0， ， ，四種情況分類討論.

（1）∵a＝e，

∴f（x）＝（x﹣1）ex+ex2．

∴＝xex+2ex，

∴＝3e，f（1）＝e．

∴y﹣e＝3e（x﹣1），

所以切線方程是3ex﹣y﹣2e＝0；

（2）∵＝x（ex+2a）

①若a≥0時，ex+2a＞0．

當時，，

當時，

所以y＝f（x）在（﹣∞，0）上為減函數，在（0，+∞）上為增函數；

②若時，ln（﹣2a）＜0，

當x＜ln（﹣2a）或x＞0，＞0，

當ln（﹣2a）＜x＜0時，＜0，

∴y＝f（x） 在 （﹣∞，ln（﹣2a）），（0，+∞）上為增函數，在（ln（﹣2a），0）上為減函數；

③若時，ln（﹣2a）=0，＞0成立，所以y＝f（x）在上為單調遞增的；

④若時，ln（﹣2a）＞0，

當x＞ln（﹣2a）或x＜0時，＞0，

當0＜x＜ln（﹣2a）時，＜0，

∴y＝f（x）在（﹣∞，0），（ln（﹣2a），+∞）上為增函數，在（0，ln（﹣2a）） 上為減函數．

綜上：①若a≥0時， y＝f（x）在（﹣∞，0）上為減函數，在（0，+∞）上為增函數；

②若時， y＝f（x） 在 （﹣∞，ln（﹣2a）），（0，+∞）上為增函數，在（ln（﹣2a），0）上為減函數；

③若時， y＝f（x）在上為單調遞增的；

④若時，y＝f（x）在（﹣∞，0），（ln（﹣2a），+∞）上為增函數，在（0，ln（﹣2a）） 上為減函數．