Question

某小型餐館一天中要購買A，B兩種蔬菜，A，B蔬菜每公斤的單價分別為2元和3元．根據需要，A蔬菜至少要買6公斤，B蔬菜至少要買4公斤，而且一天中購買這兩種蔬菜的總費用不能超過60元．
（1）寫出一天中A蔬菜購買的公斤數x和B蔬菜購買的公斤數y之間的滿足的不等式組；并在給定的坐標系中畫出不等式組表示的平面區域（用陰影表示），
（2）如果這兩種蔬菜加工后全部賣出，A，B兩種蔬菜加工后每公斤的利潤分別為2元和1元，餐館如何采購這兩種蔬菜使得利潤最大，利潤最大為多少元？

Answer 1

（1）依題意，A蔬菜購買的公斤數x和B蔬菜購買的公斤數y之間的滿足的不等式組如下：

2x+3y≤60 x≥6 y≥4

…（3分）
畫出的平面區域如圖．…（6分）
（2）設餐館加工這兩種蔬菜利潤為z元，則目標函數為z=2x+y…（7分）
∵y=-2x+z∴z表示過可行域內點斜率為-2的一組平行線在y軸上的截距．
聯立

2x+3y=60 y=4

解得

x=24 y=4

即B（24，4）…（9分）
∴當直線過點B（24，4）時，在y軸上的截距最大，
即z_max=2×24+4=52…（11分）
答：餐館應購買A蔬菜24公斤，B蔬菜4公斤，加工后利潤最大為52元．…（12分）