Question

如圖1，矩形CDEF中DF=2CD=2，將平面ABCD沿著中線AB折成一個直二面角（如圖2），點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM=BN=a（0＜a＜

2

）．

（1）求MN的長；
（2）當a為何值時，MN的長最小；
（3）當MN長最小時，求面MNA與面MNB所成的鈍二面角α的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）作MP∥AB交BC于點P，NQ∥AB交BE于點Q，連結PQ，依題意可得MNQP是平行四邊形，由此能求出MN的長．
（2）由已知得當M、N分別移動到AC、BF的中點時，MN的長最小，最小值為

2

2

．
（3）取MN的中點G，連結AG、BG，∠AGB即為二面角α的平面角，由此能求出面MNA與面MNB所成的鈍二面角α的余弦值．

解答： 解：（1）作MP∥AB交BC于點P，NQ∥AB交BE于點Q，
連結PQ，依題意可得MP∥NQ，且MP=NQ，
即MNQP是平行四邊形，
∴MN=PQ．由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1，
∴AC=BF=

2

，

CP

1

=

a

2

，

BQ

1

=

a

2

．
即CP=BQ=

a

2

．
∴MN=PQ=

(1-CP)2+BQ2

=

(1- a 2 )2+( a 2 )2

=

(a- 2 2 )2+ 1 2

（0＜a＜

2

）．…（5分）
（2）由（Ⅰ），MN=

(a- 2 2 )2+ 1 2

，
∴當a=

2

2

時，MN=

2

2

．
即M、N分別移動到AC、BF的中點時，
MN的長最小，最小值為

2

2

．…（8分）
（3）取MN的中點G，連結AG、BG，
∵AM=AN，BM=BN，G為MN的中點
∴AG⊥MN，BG⊥MN，∠AGB即為二面角α的平面角，…（10分）
又AG=BG=

6

4

，
∴由余弦定理有cosα=

( 6 4 )2+( 6 4 )2-1

2• 6 4 • 6 4

=-

1

3

．
故所求二面角的余弦值為-

1

3

…（12分）

點評：本題考查線段長的最小值的求法，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．