Question

（1）已知f（

x

+1）=x+2

x

，求f（x）；
（2）若二次函數f（x）的圖象與x軸交于A（-2，0），B（4，0），且函數的最大值為9，求f（x）．

Answer 1

考點：函數解析式的求解及常用方法,二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）令

x

+1=t，使用換元法求解即可，（2）使用待定系數法，由條件令二次函數兩根式f（x）=a（x+2）（x-4），再將函數的最大值為9代入可求的f（x）．

解答： 解：（1）令

x

+1=t，t≥1，則

x

=t-1，x=（t-1）²，
則f（

x

+1）=x+2

x

即為f（t）=t-1+2（t-1）²=2t²-3t+1，
則f（x）=2x²-3x+1；
（2）由題意設二次函數兩根式f（x）=a（x+2）（x-4），
則由圖象與x軸交于A（-2，0），B（4，0），有圖象對稱軸為x=

-2+4

2

=1，
此時函數的最大值為9，得f（1）=9，解得a=-1，
則f（x）=-（x+2）（x-4）=-x²+2x+8．

點評：本題考查函數解析式的求法使用了待定系數法和換元法，（2）中也可令二次函數f（x）=ax²+bx+c，由條件得f（-2）=0，f（4）=0，f（1）=9，求解．