Question

根據下列條件，確定數列{a_n}的通項公式．
（1）a₁=1，a_n+1=3a_n+2；    
（2）a₁=1，a_n=

n-1

n

an-1(n≥2)；
（3）已知數列{a_n}滿足a_n+1=a_n+3n+2，且a₁=2，求a_n．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：等差數列與等比數列,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）由數列遞推式構造等比數列{a_n+1}，求其通項公式后得到數列{a_n}的通項公式；
（2）在數列遞推式中分別取n=1，2，…，n-1，然后累積得答案；
（3）把給出的數列遞推式變形，然后利用累加法求得數列{a_n}的通項公式．

解答： 解：（1）∵a_n+1=3a_n+2，
∴a_n+1+1=3（a_n+1），
∴

an+1+1

an+1

=3，
∴數列{a_n+1}為等比數列，公比q=3，
又a₁+1=2，
∴a_n+1=2•3^n-1，
∴a_n=2•3^n-1-1；
（2）∵a_n=

n-1

n

a_n-1（n≥2），
∴a_n-1=

n-2

n-1

a_n-2，…，a₂=

1

2

a₁．
以上（n-1）個式子相乘得：
a_n=a₁•

1

2

•

2

3

•…•

n-1

n

=

a1

n

=

1

n

；
（3）∵a_n+1-a_n=3n+2，
∴a_n-a_n-1=3n-1（n≥2），
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=

n(3n+1)

2

（n≥2）．
當n=1時，a₁=

1

2

×（3×1+1）=2符合公式，
∴a_n=

3

2

n²+

n

2

．

點評：已知數列的遞推關系，求數列的通項時，通常用累加、累乘、構造法求解．當出現a_n=a_n-1+m時，構造等差數列；當出現a_n=xa_n-1+y時，構造等比數列；當出現a_n=a_n-1+f（n）時，用累加法求解；當出現

an

an-1

=f（n）時，用累乘法求解，是中檔題．