Question

如圖所示,在正方體中,E 是的中點

(1)求直線 BE 和平面所成的角的正弦值,
(2)在上是否存在一點 F,使從平面?證明你的結論.

Answer 1

（1） （2）存在，見解析

（1）如圖（a），取AA₁的中點M，連接EM，BM，因為E是DD₁的中點，四邊形ADD₁A₁為正方形，所以EM∥AD．
又在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中．AD⊥平面ABB₁A₁，所以EM⊥面ABB₁A₁，從而BM為直線BE在平面ABB₁A₁上的射影，
∠EBM直線BE與平面ABB₁A₁所成的角．
設正方體的棱長為2，則EM=AD=2，BE=＝3，
于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝＝
即直線BE與平面ABB₁A₁所成的角的正弦值為
（2）在棱C₁D₁上存在點F，使B₁F平面A₁BE，
事實上，如圖（b）所示，分別取C₁D₁和CD的中點F，G，連接EG，BG，CD₁，FG，
因A₁D₁∥B₁C₁∥BC，且A₁D₁=BC，所以四邊形A₁BCD₁為平行四邊形，
因此D₁C∥A₁B，又E，G分別為D₁D，CD的中點，所以EG∥D₁C，從而EG∥A₁B，這說明A₁，B，G，E共面，所以BG?A₁BE
因四邊形C₁CDD₁與B₁BCC₁皆為正方形，F，G分別為C₁D₁和CD的中點，所以FG∥C₁C∥B₁G，且FG=C₁C=B₁B，因此四邊形B₁BGF為平行四邊形，所以B₁F∥BG，而B₁F?平面A₁BE，BG?平面A₁BE，故B₁F∥平面A₁BE．