Question

已知實數a＞0，函數f（x）=

x(x-a)，(x≥0) - 9 40 x(x-a)，(x＜0)

（1）若函數f（x）在區間（-b，b）（b＞0）上存在最小值，求b的取值范圍
（2）對于函數f（x），若存在區間[m，n]（n＞m），使{y|y=f（x），x∈[m，n]}=[m，n]，求a的取值范圍，并寫出滿足條件的所有區間[m，n]．

Answer 1

考點：分段函數的應用,函數的最值及其幾何意義

專題：計算題,數形結合,函數的性質及應用

分析：（1）畫出函數f（x）的圖象，由圖象可得，函數f（x）在區間（-b，b）（b＞0）上存在最小值，最小值為

a

2

•（

a

2

-a）=-

a2

4

，令f（x）=-

a2

4

（x＜0），求出x，即可得到b的范圍；
（2）畫出直線y=x，求出交點，通過圖象觀察，當x＜0時，遞增，再由x＞0的最小值，解不等式a-

40

9

≤-

a2

4

，即可得到a的范圍，進而區間[m，n]．

解答： 解：（1）畫出函數f（x）的圖象，由圖象可得，
函數f（x）在區間（-b，b）（b＞0）上存在最小值，
則最小值為

a

2

•（

a

2

-a）=-

a2

4

，令-

9

40

x（x-a）=-

a2

4

（x＜0），
解得x=-

2a

3

，即有

a

2

＜b≤

2a

3

；
（2）當區間[m，n]⊆（-∞，0），即為增區間，
由-

9

40

x（x-a）=x，可得x=0，或a-

40

9

，
由a-

40

9

＜0，可得0＜a＜

40

9

．
則區間m，n]為[a-

40

9

，0]，
再由x（x-a）=x，解得x=0或a+1，
由a-

40

9

≤-

a2

4

，解得-

20

3

≤a≤

8

3

．但a＞0，則有0＜a≤

8

3

．
則區間[m，n]為[a-

40

9

，a+1]．
綜上可得a的范圍是0＜a＜

40

9

，區間為[a-

40

9

，0]，[a-

40

9

，a+1]．

點評：本題考查分段函數的運用，考查函數的單調性的運用，考查數形結合的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．