Question

已知△ABC的周長為12，頂點A、B的坐標分別為（-2，0），（2，0），C為動點．
（1）求動點C的軌跡E的方程；
（2）過原點作兩條關于y軸對稱的直線（不與坐標軸重合），使它們分別與曲線E交于兩點，求四點所對應的四邊形的面積的最大值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質,軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：對第（1）問，由△ABC的周長及AB的長，得|CA|+|CB|，由圓錐曲線的定義可判斷軌跡的形狀，即可得其方程；
對第（2）問，先設出直線方程，并求出直線與橢圓的一個交點，由四邊形的形狀，寫出面積的表達式，即可探求面積的最大值．

解答： 解：（1）由題意知，|CA|+|CB|=12-|AB|=8＞|AB|，
故動點C在橢圓上，
當C與A，B共線時，A，B，C三點不能圍成三角形，故軌跡E不含x軸上的兩點，
由于定點A，B在x軸上，可設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
則2a=8，焦距2c=4，從而b²=a²-c²=12，
即得E的方程為

x2

16

+

y2

12

=1（y≠0）．
（2）設過原點所作的兩條關于y軸對稱的直線分別為y=kx，y=-kx，k＞0，
由

y=kx x2 16 + y2 12 =1

，得直線與橢圓的一個交點坐標為（

4 3

3+4k2

，

4 3 k

3+4k2

），
根據圖形的對稱性知，由四點所對應的四邊形為矩形，
且其面積S=

8 3

3+4k2

•

8 3 k

3+4k2

=

64×3

3 k +4k

≤

64×3

2 3 k •4k

=16

3

，
當且僅當

3

k

=4k即k=

3

2

時，上式取等于號．
所以所求四邊形面積的最大值為16

3

．

點評：本題考查了橢圓的定義，直線與橢圓的相交關系及面積最值問題，關鍵是寫出面積的表達式，從表達式的特征尋求最值，求面積最值的常見方法是利用基本不等式或轉化為函數的值域問題進行處理．