Question

已知x₁，x₂是方程x²-（k-2）+（k²+3k+5）=0（k∈R）的兩個實根，則x₁²+x₂²的最大值為（　　）

• A、18
• B、19
• C、5

  5

  9

• D、不存在

Answer 1

考點：有理數(shù)指數(shù)冪的化簡求值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：x₁，x₂是方程x²-（k-2）+（k²+3k+5）=0（k∈R）的兩個實根，可得△≥0，解得-4≤k≤-

4

3

．再利用根與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：∵x₁，x₂是方程x²-（k-2）+（k²+3k+5）=0（k∈R）的兩個實根，
∴△=（k-2）²-4（k²+3k+5）≥0，解得-4≤k≤-

4

3

．
∴x₁+x₂=k-2，x₁•x₂=k²+3k+5．
∴x₁²+x₂²=(x1+x2)2-2x1x2=（k-2）²-2（k²+3k+5）=-（k+5）²+19≤-（-4+5）²+19=18．
故選：A．

點評：本題考查了一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．