Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a2＝2，(n－1)an＋1－nan＋1＝0(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)．

Answer 1

【答案】

【解析】試題分析：本題考査的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法.由 ，代入計(jì)算，以依次求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，分析規(guī)律后，可歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用數(shù)學(xué)歸納法證明,①易證當(dāng)時(shí),原等式成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，去推證當(dāng)時(shí)，原等式也成立即可（注意利用好歸納假設(shè)）..

試題解析：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，

由a2＝2，可得a3＝3，猜想an＝n.

證明如下：

當(dāng)n＝1,2時(shí)，a1＝1，a2＝2，猜想成立；

假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時(shí)，猜想成立，即ak＝k，

又(k－1)ak＋1－kak＋1＝0，

即(k－1)ak＋1－k2＋1＝0，

∵k≥2，∴k－1≠0，

∵ak＋1＝k＋1，即n＝k＋1時(shí)，猜想成立，

∴n∈N*時(shí)，an＝n.