Question

（本小題15分）已知函數f(x)=(1+x)²-aln(1+x)²在(-2,-1)上是增函數，
在（-∞，-2）上為減函數.
（1）求f(x)的表達式；
（2）若當x∈時，不等式f(x)＜m恒成立，求實數m的值；
（3）是否存在實數b使得關于x的方程f(x)=x²+x+b在區間［0，2］上恰好有兩個相異的實根，若存在，求實數b的取值范圍.

Answer 1

（1）f(x)=(1+x)²-ln(1+x)².(2)需m＞e²-2；
（3）存在這樣的實數b,當2-2ln2＜b≤3-2ln3時滿足條件.

本試題主要是考查了函數單調性與導數的關系和函數奇偶性以及函數與不等式的關系的綜合運用。
（1）求解函數的導數 f′(x)=2(1+x)-
=2·,
那么依題意f(x)在(-2,-1)上是增函數，在（-∞,-2)上為減函數.∴x=-2時，f（x）有極小值，∴f′（-2）=0.從而得到解析式。
(2)由于f′(x)=2(1+x)-=,易證函數在上單調遞減，
因此若使原不等式恒成立只需求解其最大值m＞e²-2即可.
（3）若存在實數b使得條件成立，
方程f(x)=x²+x+b即為x-b+1-ln(1+x)²=0,
要使方程f(x)=x²+x+b在區間［0，2］上恰好有兩個相異的實根，只需g(x)=0在區間［0，1］和［1，2］上各有一個實根，于是有2-2ln2＜b≤3-2ln3,
故存在這樣的實數b,當2-2ln2＜b≤3-2ln3時滿足條件.
解 （1）∵f′(x)=2(1+x)-
=2·,
依題意f(x)在(-2,-1)上是增函數，在（-∞,-2)上為減函數.∴x=-2時，f（x）有極小值，∴f′（-2）=0.
代入方程解得a=1,
故f(x)=(1+x)²-ln(1+x)².
(2)由于f′(x)=2(1+x)-=,
令f′(x)=0,得x₁=0,x₂=-2.
（由于x∈，故x₂=-2舍去），
易證函數在上單調遞減，
在［0，e-1］上單調遞增，
且f()=+2,f(e-1)=e²-2＞+2,
故當x∈時，f(x)_max=e²-2,
因此若使原不等式恒成立只需m＞e²-2即可.
（3）若存在實數b使得條件成立，
方程f(x)=x²+x+b
即為x-b+1-ln(1+x)²=0,
令g(x)=x-b+1-ln(1+x)²,
則g′(x)=1-=,
令g′(x)＞0,得x＜-1或x＞1,
令g′(x)＜0,得-1＜x＜1,
故g(x)在［0，1］上單調遞減，在［1，2］上單調遞增，要使方程f(x)=x²+x+b在區間［0，2］上恰好有兩個相異的實根，只需g(x)=0在區間［0，1］和［1，2］上各有一個實根，于是有2-2ln2＜b≤3-2ln3,
故存在這樣的實數b,當2-2ln2＜b≤3-2ln3時滿足條件.