Question

【題目】某工廠有120名工人，其年齡都在20~ 60歲之間，各年齡段人數按[20，30），[30，40），[40，50)，[50，60]分成四組，其頻率分布直方圖如下圖所示．工廠為了開發新產品，引進了新的生產設備，要求每個工人都要參加A、B兩項培訓，培訓結束后進行結業考試。已知各年齡段兩項培訓結業考試成績優秀的人數如下表所示。假設兩項培訓是相互獨立的，結業考試也互不影響。

年齡分組	A項培訓成績 優秀人數	B項培訓成績 優秀人數
[20，30）	27	16
[30，40）	28	18
[40，50)	16	9
[50，60]	6	4

（1）若用分層抽樣法從全廠工人中抽取一個容量為40的樣本，求四個年齡段應分別抽取的人數；

（2）根據頻率分布直方圖，估計全廠工人的平均年齡；

（3）隨機從年齡段[20，30）和[40，50）中各抽取1人，設這兩人中A、B兩項培訓結業考試成績都優秀的人數為X，求X的分布列和數學期望.

Answer 1

【答案】（1）12，14，8，6；（2）37歲；（3）見解析.

【解析】分析：（1）由頻率分布直方圖得各年齡段的頻率，分別乘以40即可得人數；

（2）將各年齡段的中點值乘以頻率累加可得平均年齡；

（3）先分別計算年齡在[20，30）和年齡段[40，50）的工人A、B兩項培訓結業考試成績都優秀的概率，由題設知，X的可能取值為0，1，2，進而求概率可得分布列，利用期望公式可得期望.

詳解：(1)由頻率分布直方圖可知，年齡段[20，30），[30，40），[40，50)，[50,60]的人數的頻率分別為0.3，0.35，0.2，0.15.

因為40×0.3=12，40×0.35 =14，40×0.2=8，40×0.15 =6，

所以年齡段[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]應抽取人數分別為12，14，8，6．

(2)因為各年齡段的中點值分別為25，35，45，55，對應的頻率分別為0.3，0.35，0.2，0.15，則25×0.3+35×0.35 +45×0.2+55×0.15= 37.由此估計全廠工人的平均年齡約為37歲.

(3)因為年齡在[20，30）的工人數為120×0.3=36，從該年齡段任取1人，由表知，此人A項培訓結業考試成績優秀的概率為，B項培訓結業考試成績優秀的概率為，

所以A、B兩項培訓結業考試成績都優秀的概率為.

因為年齡段[40，50）的工人數為120×0.2=24，從該年齡段任取1人，由表知，此人A項培訓結業考試成績優秀的概率為 ，B項培訓結業考試成績優秀的概率為，所以A、B兩項培訓結業考試成績都優秀的概率為．

由題設知，X的可能取值為0，1，2．

其中，

，

，

所以X的分布列如下表：

X	0	1	2
P

所以.