Question

【題目】設整數數列{an}共有2n（）項，滿足，，且（）．

（1）當時，寫出滿足條件的數列的個數；

（2）當時，求滿足條件的數列的個數．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）.

【解析】

（1）當確定時，可確定，再逆推可知有種取法；再依據可知各有種取法；由于與有關，當確定時，必然隨之確定，故根據分步乘法計數原理，可得數列個數為；（2）設，且，可推得：；又，可推得：；用表示中值為的項數可知的取法數為，再任意指定的值，有種，可知數列有個；再化簡，可得最終結果.

（1）時，，且

則確定時，有唯一確定解

又，可知有種取法

若，則，則有種取法

此時，也有種取法

又，當確定時，隨之確定

故所有滿足條件的數列共有：個

滿足條件的所有的數列的個數為

（2）設，則由得

①

由得，則：

即 ②

用表示中值為的項數

由②可知也是中值為的項數，其中

所以的取法數為

確定后，任意指定的值，有種

由①式可知，應取，使得為偶數

這樣的的取法是唯一的，且確定了的值

從而數列唯一地對應著一個滿足條件的

所以滿足條件的數列共有個

下面化簡

設

兩展開式右邊乘積中的常數項恰好為

因為，又中的系數為

所以

所以滿足條件的數列共有個