Question

【題目】已知函數f（x）＝xlnx+2x﹣1．

（1）求f（x）的極值；

（2）若對任意的x＞1，都有f（x）﹣k（x﹣1）＞0（k∈Z）恒成立，求k的最大值．

Answer 1

【答案】（1）極小值為﹣e﹣3﹣1，無極大值；（2）最大值為4．

【解析】

（1）求導判斷函數的單調性，由極值定義得解；（2）問題轉化為在上恒成立，構造函數，利用導數求函數的范圍，進而得到實數的范圍，由此得到答案．

（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）＝lnx+3，

令f′（x）＝0，解得x＝e﹣3，

當x∈（0，e﹣3）時，f′（x）＜0，函數f（x）遞減；

當x∈（e﹣3，+∞）時，f′（x）＞0，函數f（x）遞增；

故f（x）的極小值為f（e﹣3）＝﹣e﹣3﹣1，無極大值；

（2）原式可化為，

令，則，

令h（x）＝x﹣2﹣lnx（x＞1），則，

故h（x）在（1，+∞）上遞增，

故存在唯一的x0∈（3，4），使得h（x0）＝0，即lnx0＝x0﹣2，

且當x∈（1，x0）時，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）遞減；

當x∈（x0，+∞）時，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）遞增；

故g（x）min＝g（x0）＝x0+1，

故k＜x0+1∈（4，5），所以實數k的最大值為4．