Question

如圖，過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F的直線與拋物線相交于M、N兩點，自M、N向準線l作垂線，垂足分別為M₁、N₁
（1）求證：FM₁⊥FN₁；
（2）記△FMM₁、△FM₁N₁，△FNN₁的面積分別為S₁、S₂、S₃，試判斷S₂²=4S₁S₃是否成立，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由拋物線的定義得|MF|=|MM₁|，|NF|=|NN₁|，所以∠MFM₁=∠MM₁F，∠NFN₁=∠NN₁F，由此可知FM₁⊥FN₁．
（2）S₂²=4S₁S₃成立，證明如下：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則由拋物線的定義得|MM₁|=|MF|=x1+

p

2

，|NN₁|=|NF|=x2+

p

2

，由此入手能夠推導出S₂²=4S₁S₃成立．

解答：（1）證明：由拋物線的定義得
|MF|=|MM₁|，|NF|=|NN₁|，
∴∠MFM₁=∠MM₁F，∠NFN₁=∠NN₁F
如圖，設準線l與x的交點為F₁
∴MM₁∥NN₁∥FF₁
∴∠F₁FM₁=∠MM₁F，∠F₁FN₁=∠NN₁F
而∠F₁FM₁+∠MFM₁+∠F₁FN₁+∠N₁FN=180°
即2∠F₁FM₁+2∠F₁FN₁=180°
∴∠F₁FM₁+∠F₁FN₁=90°
故FM₁⊥FN₁．
（2）S₂²=4S₁S₃成立，證明如下：
證：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
則由拋物線的定義得
|MM₁|=|MF|=x1+

p

2

，|NN₁|=|NF|=x2+

p

2

，
于是
S₁=

1

2

|MM₁||F₁M₁|=

1

2

(x1+

p

2

) |y1|，
S₂=

1

2

|M₁N₂||FF₁|=

1

2

p|y1-y2|，
S₃=

1

2

|NN₁||F₁N₁|=

1

2

(x2+

p

2

) |y2|，
∵S₂²=4S₁S₃?(

1

2

p|y1-y2|2=4×

1

2

(x1+

p

2

)|y1|•

1

2

(x2+

p

2

) |y2|
?

1

4

p2[(y1+y2)2-4y1y2]=[x1x2+

p

2

(x1+x2)+

p2

4

]|y1y2|，
將

x1=my1+ p 2 x2=my2+ p 2

與

y1+y2=2mp y1y2=-p2

代入上式化簡可得
p²（m²p²+p²）=p²（m²p²+p²），此式恒成立．
故S₂²=4S₁S₃成立．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．