Question

設向量

a

、

b

不共線，向量

c

=λ

a

+μ

b

，且

a

、

b

、

c

有共同的起點0，λ+μ=1，試證：

a

、

b

、

c

的終點在同一條直線上．

Answer 1

考點：平行向量與共線向量

專題：平面向量及應用

分析：根據題意，只要計算

a

-

c

，與

c

-

b

是共線向量即可．

解答： 解：因為向量

a

、

b

不共線，向量

c

=λ

a

+μ

b

，且

a

、

b

、

c

有共同的起點0，λ+μ=1，
所以

a

-

c

=

a

-λ

a

-μ

b

=(1-λ)

a

-μ

b

=μ

a

-μ

b

=μ(

a

-

b

)；

c

-

b

=λ

a

+μ

b

-

b

=λ

a

+(μ-1)

b

=λ

a

-λ

b

=λ(

a

-

b

)=

λ

μ

(

a

-

c

)，
所以

a

-

c

，與

c

-

b

是共線向量，
所以

a

、

b

、

c

的終點在同一條直線上．

點評：若

OC

=λ

OA

+μ

OB

，且λ+μ=1．則A、B、C三點共線，且C分AB的兩段線段AC與BC的長度之比，AC：BC=μ：λ．