Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+

m

x

，m∈R．
（1）若函數(shù)g（x）=f′（x）-

x

3

只有一個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍；
（2）若對(duì)于任意b＞a＞0，

f(b)-f(a)

b-a

＜1恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)f（x）=lnx+

m

x

，求出函數(shù)g（x）=f′（x）-

x

3

的解析式，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)g（x）=f′（x）-

x

3

只有一個(gè)零點(diǎn)，求得m的取值范圍；
（2）若對(duì)于任意b＞a＞0，

f(b)-f(a)

b-a

＜1恒成立，則f′（x）=

1

x

-

m

x2

=

x-m

x2

＜1在（0，+∞）上恒成立，即x²-x+m＞0在（0，+∞）上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=lnx+

m

x

，（x＞0），
∴g（x）=f′（x）-

x

3

=

1

x

-

m

x2

-

x

3

=

-x3+3x-3m

3x2

，（x＞0），
若g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，則h（x）=-x³+3x-3m，（x＞0）只有一個(gè)零點(diǎn)，
∵h(yuǎn)′（x）=-3x²+3=0時(shí)，x=1，或x=-1（舍去），
故當(dāng)x=1時(shí)，h（x）取極大值-3m+2，
若h（x）=-x³+3x-3m只有一個(gè)零點(diǎn)，
則-3m-2＞0，
解得：m＜-

2

3

（2）若對(duì)于任意b＞a＞0，

f(b)-f(a)

b-a

＜1恒成立，
則f′（x）=

1

x

-

m

x2

=

x-m

x2

＜1在（0，+∞）上恒成立，
即x²-x+m＞0在（0，+∞）上恒成立，
由y=x²-x+m的圖象是開(kāi)口朝上，且以直線x=

1

2

為對(duì)稱軸的拋物線，
故

4m-1

4

＞0，
解得：m＞

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)求導(dǎo)，函數(shù)恒成立，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，是導(dǎo)數(shù)與零點(diǎn)的綜合應(yīng)用，難度中檔．