Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，四邊形CC1D1D為矩形，已知AB⊥BC1，AD=4，AB=2，BC=1.

（I）求證：BC1∥平面ADD1；

（II）若DD1=2，求平面AC1D1與平面ADD1所成的銳二面角的余弦值；

（III）設P為線段C1D上的一個動點（端點除外），判斷直線BC1與直線CP能否垂直?并說明理由.

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（II）；（III）直線BC1與CP不可能垂直.

【解析】試題分析：（1）先根據線面平行的判定定理證明平面平面，再由面面垂直的判定定理可得平面平面，根據面面平行的性質可得結果；（2）先證明平面，過在底面中作，所以, 兩兩垂直，以分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標系，求出平面與平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結果；（3）利用反證法，若兩直線垂直，根據向量垂直數量積為零可得到點不在線段上，從而假設不成立.

試題解析：（I）證明：由CC1D1D為矩形，得CC1∥DD1，又因為DD1平面ADD1，CC1平面ADD1，

所以CC1∥平面ADD1，

同理BC∥平面ADD1，又因為BCCC1=C，所以平面BCC1∥平面ADD1，

又因為BC1平面BCC1，所以BC1∥平面ADD1.

（II）.由平面ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，得AB⊥BC，又因為AB⊥BC1，BCBC1=B，所以AB⊥平面BCC1，所以AB⊥CC1，又因為四邊形CC1D1D為矩形，且底面ABCD中AB與CD相交一點，所以CC1⊥平面ABCD，因為CC1∥DD1，所以DD1⊥平面ABCD.

過D在底面ABCD中作DM⊥AD，所以DA，DM，DD1兩兩垂直，以DA，DM，DD1分別為x軸、y軸和z軸，如圖建立空間直角坐標系，

則D（0，0，0），A（4，0，0），B（4，2，0），C（3，2，0），C1（3，2，2），D1（0，0，2），

所以=（-l，2，2），=（-4，0，2）.

設平面AC1D1的一個法向量為m=（x，y，z），

由m·=0，m·=0，得

令x=2，得m=（2，-3，4）

易得平面ADD1的法向量n=（0，1，0）.

所以cos<m，n>=.

即平面AC1D1與平面ADD1所成的銳二面角的余弦值為

（III）結論：直線BC1與CP 不可能垂直，

證明：設DD1=m（m>0），= （∈（0，1）），

由B（4，2，0），C（3，2，0），C1（3，2，m），D（0，0，0），

得=（-l，0，m），=（3，2，m），= =（3，2，m），=（-3，-2，0），=+=（3-3，2-2，m）.

若BC1⊥CP，則·=-（3-3）+m2=0，即（m2-3）=-3，因為≠0，

所以m2=-+3>0，解得>1，這與0<<l矛盾.

所以直線BC1與CP不可能垂直.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.