Question

【題目】已知單調遞增的等比數列{an}滿足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2 ， a4的等差中項．
（1）求數列{an}的通項公式
（2）若bn=anlog an ， Sn=b1+b2+b3+…+bn ， 對任意正整數n，Sn+（n+m）an+1＜0恒成立，試求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設等比數列{an}的首項為a1，公比為q．

依題意，

有2（a3+2）=a2+a4，

代入a2+a3+a4=28，

得a3=8．

∴a2+a4=20．

∴

解之得 ，或

又{an}單調遞增，

∴q=2，a1=2，∴an=2n，

（2）解：bn=2nlog 2n=﹣n2n，

∴﹣Sn=1×2+2×22+3×23++n×2n①

﹣2Sn=1×22+2×23++（n﹣1）2n+n2n+1②

①﹣②得，Sn=2+22+23++2n﹣n2n+1

= ﹣n2n+1

=2n+1﹣2﹣n2n+1

由Sn+（n+m）an+1＜0，

即2n+1﹣2﹣n2n+1+n2n+1+m2n+1＜0對任意正整數n恒成立，

∴m2n+1＜2﹣2n+1．

對任意正整數n，

m＜ ﹣1恒成立．

∵ ﹣1＞﹣1，∴m≤﹣1．

即m的取值范圍是（﹣∞，﹣1]．

【解析】（1）設等比數列{an}的首項為a1 ， 公比為q，根據2（a3+2）=a2+a4 ， 可求得a3 ． 進而求得a2+a4=20．兩式聯立方程即可求得a1和q的值，最后根據等比數列的通項公式求得an ． （2）把（1）中的an代入bn ， 再利用錯位相減法求得Sn ， 再由Sn+（n+m）an+1＜0恒成立進而求得m的范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等比數列的基本性質的相關知識，掌握{an}為等比數列，則下標成等差數列的對應項成等比數列;{an}既是等差數列又是等比數列== {an}是各項不為零的常數列，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．