Question

【題目】已知函數f（x）=ax2+bx在x=1處取得極值2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若（m+3）x﹣x2ex+2x2≤f（x）對于任意的x∈（0，+∞）成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）=ax3+bx在x=1處取得極值2，

∴ ，解得 ，

∴f（x）=﹣x3+3x

（2）解：∵（m+3）x﹣x2ex+2x2≤f（x）對于任意的x∈（0，+∞）成立，

∴（m+3）x﹣x2ex+2x2≤﹣x3+3x

m≤xex﹣x2﹣2x于任意的x∈（0，+∞）成立

設h（x）=xex﹣x2﹣2x，

則h′（x）=ex+xex﹣2x﹣2=（x+1）（ex﹣2），

令h′（x）=0解得x=ln2，

且當0＜x＜ln2時，h′（x）＜0；

當x＞ln2時，h′（x）＞0，

∴h（x）=xex﹣x2﹣2x在（0，ln2）上單調遞減，在（ln2，+∞）上單調遞增，

∴ ，

∴m≤﹣（ln2）2．

【解析】（1）根據極值的定義得到關于a，b的方程組，求出a，b的值，從而求出f（x）的表達式；（2）問題等價于m≤xex﹣x2﹣2x于任意的x∈（0，+∞）成立，設h（x）=xex﹣x2﹣2x，根據函數的單調性求出m的范圍即可．
【考點精析】利用基本求導法則和函數的極值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．