Question

【題目】三棱錐P﹣ABC，底面ABC為邊長為2 的正三角形，平面PBC⊥平面ABC，PB=PC=2，D為AP上一點，AD=2DP，O為底面三角形中心．

（1）求證DO∥面PBC；
（2）求證：BD⊥AC；
（3）設M為PC中點，求平面MBD和平面BDO所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AO交BC于點E，連接PE．

∵O為正三角形ABC的中心，∴AO=2OE，

且E為BC中點．又AD=2DP，

∴DO∥PE，

∵DO平面PBC，PE平面PBC

∴DO∥面PBC．

（2）證明：∵PB=PC，且E為BC中點，∴PE⊥BC，

又平面PBC⊥平面ABC，

∴PE⊥平面ABC，

由（Ⅰ）知，DO∥PE，

∴DO⊥平面ABC，

∴DO⊥AC

連接BO，則AC⊥BO，又DO∩BO=O，

∴AC⊥平面DOB，∴AC⊥BD．

（3）解：由（1）（2）知，EA，EB，EP兩兩互相垂直，且E為BC中點，

所以分別以EA，EB，EP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

如圖，則A（3，0，0），B（0， ，0），P（0，0，1），

D（1，0， ），C（0，﹣ ，0），M（0，﹣ ， ），

∴ =（0，﹣ ， ）， =（﹣1， ，﹣ ），

設平面BDM的法向量為 =（x，y，z），則 ，

令y=1，則 =（﹣ ，1，3 ），

由（Ⅱ）知AC⊥平面DBO，

∴ =（﹣3，﹣ ，0）為平面DBO的法向量，

∴cos＜ ＞= = = ，

由圖可知，二面角M﹣BD﹣O的余弦值為 ．

【解析】（1）連接AO交BC于點E，連接PE，推導出DO∥PE，由此能證明DO∥面PBC．（2）推導出PE⊥BC，從而PE⊥平面ABC，進而DO⊥平面ABC，由此得DO⊥AC，再由AC⊥BO，能證明AC⊥BD．（3）分別以EA，EB，EP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角M﹣BD﹣O的余弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識，掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點，以及對直線與平面平行的判定的理解，了解平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．