Question

如圖，空間四邊形ABCD的對棱AD、BC成60°的角，且AD=BC=4，平行于AD與BC的截面分別交AB、AC、CD、BD于E、F、G、H．
（1）求證：四邊形EFGH為平行四邊形；
（2）E在AB的何處時截面EFGH的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

分析：（1）利用線面平行的判定與性質，證出EF∥GH且EH∥FG，從而得到四邊形EGFH的兩組對邊分別平行，即四邊形EFGH為平行四邊形．
（2）由異面直線所成角的定義，得到∠HGF=60°或120°，利用正弦定理的面積公式得到S_EFGH=

3

2

GH•GF，再利用平行線分線段成比例定理和基本不等式，證出GH•GF的最大值為4，當且僅當E為AB的中點時取到最大值．由此即可算出截面EFGH的面積最大值，得到本題答案．

解答：解：（1）∵BC∥平面EFGH，BC?平面ABC，平面ABC∩平面EFGH=EF，
∴BC∥EF．同理可得BC∥GH，可得EF∥GH，
同理得到EH∥FG，
∴四邊形EGFH中，兩組對邊分別平行，
因此，四邊形EFGH為平行四邊形．
（2）∵AD與BC成60°角，
∴平行四邊形EFGH中∠HGF=60°或120°，
可得截面EFGH的面積S=GH•GF•sin∠HGE=

3

2

GH•GF
∵設

GH

BC

=λ，則

FG

AD

=1-λ
∴GH=λBC=4λ，BC=λAD=4-4λ
可得GH•GF=16λ（1-λ）≤16×[

λ+(1+λ)

2

]²=4
當且僅當λ=

1

2

時等號成立
由此可得：當E為AB的中點時，截面EFGH的面積最大，最大值為2

3

．

點評：本題給出三棱錐平行于一組對棱的截面，求證四邊形是平行四邊形并求面積最大值．著重考查了線面平行的判定與性質、平行線分線段成比例定理和基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．