Question

【題目】已知函數，

（1）求函數的單調遞減區間；

（2）若關于的方程在區間上有兩個不等的根，求實數的取值范圍；

（3）若存在，當時，恒有，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）求，令，解不等式求x的范圍得單調區間。（2）構造函數，再求，從而得函數在區間上單調遞減在區間上單調遞增，因為關于的方程在區間上有兩個不等的根，所以，解不等式組求出實數的取值范圍；（3）構造函數，要使存在，當時，恒有，因為，所以只須即可。也就是存在，當時函數是單調遞增的，求導得，只須在時成立。解得k的范圍。

試題解析：（1）因為函數的定義域為，且，

令，即

解之得

所以函數的單調遞減區間為

（2）令，且定義域為所以

令，，列表如下：

		1
	+	0	-
	遞增	極大值	遞減

所以函數在區間先單調遞減后單調遞增，故要使有兩個不等的根，

只須 即

所以

（3）令，且

要使存在，當時，恒有，則只須即可，也就是存在，當時函數是單調遞增的，

又因為，只須在時成立，即，解得，所以的取值范圍是.