Question

證明拋物線沒有漸近線．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：證明題,反證法

分析：設拋物線有漸近線，漸近線的方程是y=ax+b，易知a、b都不為0．因為漸近線與拋物線相切于無窮遠點，于是方程組

y2=2px，① y=ax+b，②

?的兩組解的倒數都是0．從而可得p=0，即可證明結論．

解答： 證明：設拋物線的方程是y²=2px（p≠0）．?
假設拋物線有漸近線，漸近線的方程是y=ax+b，易知a、b都不為0．
因為漸近線與拋物線相切于無窮遠點，于是方程組

y2=2px，① y=ax+b，②

?的兩組解的倒數都是0．?
將②代入①，得?a²x²+2（ab-p）x+b²=0．③?
設x₁、x₂是③的兩個根，由韋達定理，可知?
x₁+x₂=-

2(ab-p)

a2

，x₁•x₂=

b2

a2

，?
則

1

x1

+

1

x2

=

-2(ab-p)

b2

，④

1

x1

•

1

x2

=

a2

b2

=0．⑤?
由④⑤，可推得p=0，?
這與假設p≠0矛盾．?
所以，拋物線沒有漸近線．?

點評：關于不可能問題是幾何中最常見也是非常重要的一種類型．由于它的結論是以否定形式出現，采用直接證法有困難，所以這類問題一般都使用反證法加以證明．