Question

已知雙曲線

x2

an

-

y2

an-1

=1的一個焦點為(

cn

，0)，一條漸近線方程為y=

2

2

x，其中{a_n}是以4為首項的正數數列．
（Ⅰ）求數列{c_n}的通項公式；
（Ⅱ）若不等式

1

c1

+

2

c2

+L+

n

cn

+

n

3•2n

＜

2

3

+logax(a＞1)對一切正常整數n恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由于雙曲線方程為

x2

an

-

y2

an-1

=1的一個焦點為（

cn

，0），可得c_n=a_n+a_n-1．由于一條漸近線方程為y=

2

2

x，可得

an

an-1

=

2

，即

an

an-1

=2，利用等比數列的通項公式即可得出．
（II）設T_n=

1

3

[

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

]，利用“錯位相減法”、等比數列的前n項和公式可得T_n=

2

3

-

1

3×2n+1

-

n

3•2n

，故原不等式等價于

2

3

-

1

3×2n+1

＜

2

3

+log_ax恒成立，化為log_ax≥0．由于a＞1，即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵雙曲線方程為

x2

an

-

y2

an-1

=1的一個焦點為（

cn

，0），
∴c_n=a_n+a_n-1．
又∵一條漸近線方程為y=

2

2

x，
∴

an

an-1

=

2

，即

an

an-1

=2，
∴an=4×2n-1=2ⁿ⁺¹．
∴cn=2n+1+2n=3×2ⁿ．

（II）設T_n=

1

3

[

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

]①，

1

2

Tn=

1

3

(

1

22

+

2

23

+…+

n

2n+1

)②，
①-②得，

1

2

Tn=

1

3

•(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

)=

1

3

×(

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-

n

2n+1

)=

1

3

(1-

2+n

2n+1

)，
∴T_n=

2

3

-

1

3×2n+1

-

n

3•2n

，
故原不等式等價于

2

3

-

1

3×2n+1

＜

2

3

+log_ax恒成立，
∴log_ax≥0．
∵a＞1，
∴x≥1，
∴實數x的取值范圍是[1，+∞）．

點評：本題考查了雙曲線的標準方程及其性質、等比數列的通項公式及前n項和公式、“錯位相減法”，考查了不等式恒成立的等價轉化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．