Question

設數列{a_n}滿足a₁＝3，a_n＋1＝a_n²－2na_n＋2，n＝1,2,3，…
(1)求a₂，a₃，a₄的值，并猜想數列{a_n}的通項公式(不需證明)；
(2)記S_n為數列{a_n}的前n項和，試求使得S_n<2ⁿ成立的最小正整數n，并給出證明．

Answer 1

（1）a₂＝5，a₃＝7，a₄＝9，猜想a_n＝2n＋1
（2）S_n＝n²＋2n 見解析

解：(1)a₂＝5，a₃＝7，a₄＝9，猜想a_n＝2n＋1.
(2)S_n＝＝n²＋2n，
使得S_n<2ⁿ成立的最小正整數n＝6.
證明：n≥6(n∈N^*)時都有2ⁿ>n²＋2n.
①n＝6時，2⁶>6²＋2×6，即64>48成立；
②假設n＝k(k≥6，k∈N^*)時，2^k>k²＋2k成立，那么2^k＋1＝2·2^k>2(k²＋2k)＝k²＋2k＋k²＋2k>k²＋2k＋3＋2k＝(k＋1)²＋2(k＋1)，即n＝k＋1時，不等式成立；
由①、②可得，對于所有的n≥6(n∈N^*)
都有2ⁿ>n²＋2n成立．