Question

【題目】設函數f（x）=ex+ax2（a∈R）．
（1）若函數f（x）在R上單調，且y=f′（x）有零點，求a的值；
（2）若對x∈[0，+∞），有 ≥1，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=ex+2ax，

記g（x）=ex+2ax，則g′（x）=ex+2a，

①a=0時，f（x）=ex，顯然不合題意；

②a＞0時，g′（x）＞0，f′（x）在R遞增，

∵f′（0）=1＞0，f′（﹣ ）＜0，

故y=f′（x）有唯一零點x1，顯然x∈（﹣∞，x1）時，f′（x）＜0，

x∈（x1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）在R不單調，不合題意；

③a＜0時，由g′（x）=0得x=ln（﹣2a），于是f′（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））遞減，

在（ln（﹣2a），+∞）遞增，因此要滿足條件，必須且只需f′[ln（﹣2a）]=0，

即﹣2a+2aln（﹣2a）=0，解得：a=﹣

（2）解：a＜0時，若x＞﹣ ，則ax+1＜0，根據指數函數和冪函數的增長速度知：

存在x0，當x＞x0時，必有ex＞﹣ax2，即ex+ax2＞0，

因此x＞max{﹣ ，x0}，有 ＜0，顯然不合題意，

當a≥0時，記h（x）=ex+ax2﹣ax﹣1，則 ≥1當且僅當h（x）≥0，

h′（x）=ex+2ax﹣a，顯然h′（x）在[0，+∞）遞增，

①a≤1時，由h′（0）=1﹣a＜1，h′（1）=e+a＞0，

得h′（x）=0在[0，+∞）上有且只有1個實數根，

不妨設該實根為x1，當0＜x＜x1時，h′（x）＜0，從而h（x）在（0，x1）遞減，

故x∈（0，x1）時，h（x）＜h（0）=0，不合題意，

綜上，a的范圍是[0，1]

【解析】（1）求出函數的導數，通過討論a的范圍結合函數的單調性以及函數的零點求出a的值即可；（2）通過討論a的范圍，根據函數的單調性求出函數的最值，從而確定滿足條件的a的范圍即可．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．