Question

【題目】正方體的棱長為，是與的交點，為的中點．

（I）求證：直線平面．

（II）求證：平面．

（III）二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）

【解析】試題分析:（1）先根據三角形中位線性質得，再根據線面平行判定定理得結論（2）由側棱垂直底面得，由正方形性質得，因此可由線面垂直判定定理得平面，同理可得，從而有面．（3）利于空間向量求二面角：先建立空間直角坐標系，設立各點坐標，通過解方程組得各面法向量，根據向量數量積求法向量夾角，最后根據法向量夾角與二面角關系確定所求值

（I）連接，在中，

∵為的中點，為的中點，

∴，

又∵面，

∴直線平面．

（II）在正方體中，

∵平面，平面，

∴，

∵，且，

∴，

∴，

同理，

∵，

∴面．

（III）以為原點，建立空間坐標系，

則，，

，．

易知面的一法向量為，

設面的一法向量為中，

∵，

，

，，

，，

∴，

設二面角為，

則

，

故二面角的余弦值為．