Question

【題目】已知數列，為其前項的和，滿足.

（1）求數列的通項公式；

（2）設數列的前項和為，數列的前項和為，求證：當，時；

（3）已知當，且時有，其中，求滿足的所有的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）或者.

【解析】

（1）利用遞推關系，，，單獨求，即可得出；

（2）法一：直接計算化簡即可證明；法二：利用數學歸納法即可證明；

（3）利用“累加求和”方法、不等式的性質、分類討論即可得出.

（1）解：當時，

，

又，.

（2）證明：（法一）：，，

.

（法二）：數學歸納法：

①時，，，

②假設（，）時有，

當時，

，

是原式成立

由①②可知當，時.

（3）解：，.

相加得：

，

，

即，兩邊同時乘以，

，

時，無解，

又當時；，

時，；

時，，

時，為偶數，

而為奇數，不符合

時，為奇數，

而為偶數，不符合.

綜上所述或者.