Question

求證：(

a+b+c

3

)3≤

a3+b3+c3

3

．a，b，c＞0．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：證明題,不等式的解法及應用

分析：設函數f（x）=x³（x＞0），則點P（

a+b+c

3

，f（

a+b+c

3

））在f（x）圖象上，設過P的切線方程為：y=kx+t，由于x＞0時，圖象上凹，切線在圖象的下方，則f（a）≥ka+t，f（b）≥kb+t，f（c）≥kc+t，累加即可得證．

解答： 解：設函數f（x）=x³（x＞0），
則點P（

a+b+c

3

，f（

a+b+c

3

））在f（x）圖象上，
設過P的切線方程為：y=kx+t，
由于x＞0時，圖象上凹，切線在圖象的下方，
則f（a）≥ka+t，f（b）≥kb+t，f（c）≥kc+t，
則有

f(a)+f(b)+f(c)

3

≥k•

a+b+c

3

+t，
由于f（

a+b+c

3

）=k•

a+b+c

3

+t，
則f（

a+b+c

3

）≤

f(a)+f(b)+f(c)

3

，
即有（

a+b+c

3

）³≤

a3+b3+c3

3

．

點評：本題考查不等式的證明，考查運用圖象與切線的關系證明不等式的方法，考查推理能力，屬于中檔題．