Question

已知數列{a_n}的首項a₁=1，前n項的和為S_n，且滿足2a_n+1+S_n=2（n∈N^*）．則滿足

1001

1000

＜

S2n

Sn

＜

11

10

的n的最大值為

 

．

Answer 1

考點：數列遞推式,數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：根據遞推數列的關系判斷數列是等比數列，求出數列的前n項和解不等式即可．

解答： 解：∵2a_n+1+S_n=2，
∴當n≥2時，2a_n+S_n-1=2，
兩式相減得2a_n+1+S_n-2a_n-S_n-1=2a_n+1+a_n-2a_n=0，
即2a_n+1=a_n，
則

an+1

an

=

1

2

，（n≥2），
當n=1時，2a₂+S₁=2，
即2a₂+1=2，則a₂=

1

2

，
滿足

a2

a1

=

1

2

，
即

an+1

an

=

1

2

，（n≥1），
則數列數列{a_n}是公比q=

1

2

的等比數列，
則S_n=

1×[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=2[1-（

1

2

）ⁿ]，S_2n=2[1-（

1

2

）²ⁿ]，
則

S2n

Sn

=

1-( 1 2 )2n

1-( 1 2 )n

=1+（

1

2

）ⁿ，
由

1001

1000

＜

S2n

Sn

＜

11

10

得

1001

1000

＜1+（

1

2

）ⁿ＜

11

10

，
即

1

1000

＜（

1

2

）ⁿ＜

1

10

，
∵（

1

2

）⁹=

1

512

，（

1

2

）⁸=

1

256

，（

1

2

）¹⁰=

1

1024

，
∴滿足條件的n=9，
故答案為：9．

點評：本題主要考查數列求和的計算，根據數列的遞推關系判斷數列是等比數列是解決本題的關鍵．