Question

函數f（x）的定義域為A，若x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）時，總有x₁=x₂，則稱f（x）為單函數．例如，函數f（x）=2x+1（x∈R）是單函數，下列說：
①函數f（x）=x²（x∈R）是單函數；
②函數y=tanx，x∈（-

π

2

，

π

2

）是單函數；
③若函數f（x）是單函數，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）；
④若f：A→B是單函數，則對于任意b∈B，它至多有一個原象；
⑤若函數f（x）是某區間上的單函數，則函數f（x）在該區間上具有單調性．
其中正確的是

 

．（寫出所有正確的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：①由于（±1）²=1，可得函數f（x）=x²（x∈R）不是單函數；
②利用單函數的定義即可判斷出；
③利用反證法即可判斷出；
④若f：A→B是單函數，則對于任意b∈B，它至多有一個原象，如若不然，b有兩個原象，則函數f（x）不是單函數；
⑤不正確，舉反例：f（x）=

1 x ，1＜x＜2 -5，x=1

，f（x）是區間[1，2）上的單函數，但不是單調函數．

解答： 解：對于①由于（±1）²=1，因此函數f（x）=x²（x∈R）不是單函數，不正確；
對于②函數y=tanx，在x∈（-

π

2

，

π

2

）是單調函數，可得函數y=tanx是單函數，正確；
對于③若函數f（x）是單函數，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂），利用反證法即可得出正確；
對于④若f：A→B是單函數，則對于任意b∈B，它至多有一個原象，如若不然，b有兩個原象，則函數f（x）不是單函數，因此正確；
對于⑤若函數f（x）是某區間上的單函數，則函數f（x）在該區間上具有單調性，不正確，舉反例：f（x）=

1 x ，1＜x＜2 -5，x=1

，f（x）是區間[1，2）上的單函數，但不是單調函數．
其中正確的是 ②③④．

點評：本題考查了新定義“單函數”的定義及其性質、單函數與單調函數之間的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．