Question

已知函數在點處的切線方程為．
⑴求函數的解析式；
⑵若對于區間上任意兩個自變量的值都有，求實數的最小值；
⑶若過點可作曲線的三條切線，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）4；（3）.

試題分析：（1）利用切點處的切線的斜率就是切點處的導數可列關于一個的等式，再根據切點既在曲線上又在切線上又可列出關于一個的等式，聯立即可解出關于，從而求出函數（2）對于區間上任意兩個自變量的值都有，可轉化為，再轉化為，而利用導數判斷單調性后易求；（3）可設切點為，求出切線方程后，將點坐標代入可得關于的三次方程，過點可作曲線的三條切線，則表示這個方程有三個不同的解，再轉化為三次函數的零點的判斷，可求極值用數形結合的方法解決，這是我們所熟悉的問題.
試題解析：⑴．                      2分
根據題意，得即解得        3分
所以．                        4分
⑵令，即．得．

					1		2
		+				+
		增	極大值	減	極小值	增	2

因為，，
所以當時，，．            6分
則對于區間上任意兩個自變量的值，都有
，所以．
所以的最小值為4．                          8分
⑶因為點不在曲線上，所以可設切點為．
則．
因為，所以切線的斜率為．            9分
則=，                        11分
即．
因為過點可作曲線的三條切線，
所以方程有三個不同的實數解．
所以函數有三個不同的零點．
則．令，則或．

		0		2
	+				+
	增	極大值	減	極小值	增

則 ，即，解得．             16分