Question

【題目】已知函數，．

（1）若，求函數的圖象在處的切線方程；

（2）若，試討論方程的實數解的個數；

（3）當時，若對于任意的，都存在，使得，求滿足條件的正整數的取值的集合．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）去絕對值號后求導，利用導數的幾何意義即可求解；（2）對的取值進行分類討論，去絕對值號后即可求解；（3）分析題意可知問題等價于函數的值域是的子集，從而即可建立關于的不等式，即可求解．

試題解析：（1）當，時，，從而，而，，∴函數，的圖象在處的切線方程為：，即；（2）即為，∴，從而，此方程等價于或或，

∴當時，方程有兩個不同的解，；

當時，方程有三個不同的解，，；

當時，方程）有兩個不同的解，；

（3）當，時，，，

∴函數在是增函數，且，

∴當時，，，

當時，，

∵對任意的，都存在，使得，

∴，從而，

∴，即，即，

∵，顯然滿足，而時，均不滿足，

∴滿足條件的正整數的取值的集合為．