【題目】已知無窮數列
的前
項和為
，且滿足
，其中
、
、
是常數.
（1）若
，
，
，求數列的通項公式；
（2）若
，
，
，且
，求數列的前項和；
（3）試探究、、滿足什么條件時，數列是公比不為
的等比數列.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
或
或
，
．
【解析】
試題分析：（1）已知
與
的關系，要求，一般是利用它們之間的關系
，把，化為，得出數列
的遞推關系，從而求得通項公式；（2）與（1）類似，先求出
，
時，推導出與
之間的關系，求出通項公式，再求出前
項和；（3）這是一類探究性命題，可假設結論成立，然后由這個假設的結論來推導出條件，本題設數列是公比不為
的等比數列，則
，
，代入恒成立的等式
，得
對于一切正整數都成立，所以，
，
，得出這個結論之后，還要反過來，由這個條件證明數列是公比不為的等比數列，才能說明這個結論是正確的．在討論過程中，還要討論
的情況，因為時，
，
，當然這種情況下，不是等比數列，另外 
．
試題解析：（1）由
，得
； 1分
當時，
，即
2分
所以； 1分
（2）由
，得
，進而
， 1分
當時，
得
，
因為
，所以
， 2分
進而
2分
（3）若數列是公比為
的等比數列，
①當時，，
由，得
恒成立.
所以
，與數列是等比數列矛盾； 1分
②當
，
時，，
， 1分
由恒成立，
得對于一切正整數都成立
所以，或或，3分
事實上，當，
或或，時，
，時，
，得
或
所以數列是以
為首項，以
為公比的等比數列 2分
津橋教育計算小狀元系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學校為了豐富學生的課余生活，以班級為單位組織學生開展古詩詞背誦比賽，隨機抽取一首，背誦正確加10分，背誦錯誤減10分，且背誦結果只有“正確”和“錯誤”兩種．其中某班級學生背誦正確的概率
，記該班級完成
首背誦后的總得分為
.
(1)求
且
的概率；
(2)記
，求
的分布列及數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
以坐標原點
為極點，以
軸正半軸為極軸，以相同的長度單位建立極坐標系，已知直線
的極坐標方程為
，曲線
的極坐標方程為
.
（1）請分別寫出直線與曲線的直角坐標方程；
（2）已知直線與曲線交于
，
兩點，設
，且
，求實數
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了研究家用轎車在高速公路上的速情況，交通部門對
名家用轎車駕駛員進行調查，得到其在高速公路上行駛時的平均車速情況為：在
名男性駕駛員中，平均車速超過
的有
人，不超過的有
人．在
名女性駕駛員中，平均車速超過的有
人，不超過的有
人.
（1）完成下面的列聯表，并判斷是否有
的把握認為平均車速超過與性別有關，（結果保留小數點后三位）
平均車速超過 | 平均車速不超過 | 合計 | |
男性駕駛員人數 | |||
女性駕駛員人數 | |||
合計 |
（2）以上述數據樣本來估計總體，現從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨機抽取
輛，若每次抽取的結果是相互獨立的，問這輛車中平均有多少輛車中駕駛員為男性且車速超過？
附：
（其中
為樣本容量）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某家庭進行理財投資，有兩種方式，甲為投資債券等穩健型產品，乙為投資股票等風險型產品，設投資甲、乙兩種產品的年收益分別為
、
萬元，根據長期收益率市場預測，它們與投入資金
萬元的關系分別為
，
，（其中
，
，
都為常數），函數，對應的曲線
,
如圖所示．
（1）求函數、的解析式；
（2）若該家庭現有
萬元資金，全部用于理財投資，問：如何分配資金能使一年的投資獲得最大收益，其最大收益是多少萬元？
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