Question

【題目】已知函數f (x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2，討論f (x)的單調性．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

先求導函數，將其分解因式后，對a分類討論，分別求得導函數為0時的根的情況，利用導函數的正負解得相應的x的范圍，從而判斷原函數的單調性．

f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)．

①設a≥0，則當x∈(－∞，1)時，f′(x)<0；

當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0.

所以f(x)在(－∞，1)上單調遞減，在(1，＋∞)上單調遞增．

②設a<0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．

(a)若a＝－，則f′(x)＝(x－1)(ex－e)，

所以f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞增．

(b)若a>－，則ln(－2a)<1，

故當x∈(－∞，ln(－2a))∪(1，＋∞)時，f′(x)>0；

當x∈(ln(－2a)，1)時，f′(x)<0.

所以f(x)在(－∞，ln(－2a))，(1，＋∞)上單調遞增，在(ln(－2a)，1)上單調遞減．

(c)若a<－，則ln(－2a)>1，

故當x∈(－∞，1)∪(ln(－2a)，＋∞)時，f′(x)>0；

當x∈(1，ln(－2a))時，f′(x)<0.

所以f(x)在(－∞，1)，(ln(－2a)，＋∞)上單調遞增，在(1，ln(－2a))上單調遞減．

綜上所述，當時，單增區間為（﹣∞，1）和（ln（﹣2a），+∞），單減區間為（1，ln（﹣2a））；

當時，只有單增區間為（﹣∞，+∞）；

當時，單增區間為（﹣∞，ln（﹣2a））和（1，+∞），單減區間為（ln（﹣2a），1）；

當a≥0時，單減區間為（﹣∞，1），單增區間為（1，+∞）．