Question

【題目】設函數（為常數）.

（1）當時，求曲線在處的切線方程；

（2）若函數在內存在唯一極值點，求實數的取值范圍，并判斷是在內的極大值點還是極小值點.

Answer 1

【答案】(1) (2) ，且為函數的極小值點.

【解析】

（1）先求出函數的導函數，再求出切線的斜率，再由直線的點斜式方程求解即可；

（2）函數在內存在唯一極值點等價于方程在內存在唯一解，再構造函數，求其值域，則可得的范圍，再利用導數確定是極大值點或者極小值點.

（1）當時，，，

所求切線的斜率，又.

所以曲線在處的切線方程為：.

（2），

又，則要使得在內存在唯一極值點，則在存在唯一變號零點，即方程在內存在唯一解，即與在范圍內有唯一交點，

設函數，則，在單調遞減，又；當時，

時，與在范圍內有唯一交點，不妨設交點橫坐標為，

當時， ，，則，在為減函數；當時，，則，在為增函數，即為函數的極小值點，

綜上所述：，且為函數的極小值點.