【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系
上放置一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形
，此正方形沿
軸滾動(dòng)（向左或向右均可），滾動(dòng)開(kāi)始時(shí)，點(diǎn)
位于原點(diǎn)處，設(shè)頂點(diǎn)
的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式
，
，該函數(shù)相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為
.
（1）寫(xiě)出的值并求出頂點(diǎn)到
的最小運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度
的值；
（2）寫(xiě)出函數(shù)，
，
的表達(dá)式；并研究該函數(shù)除周期外的基本性質(zhì)（無(wú)需證明）.
【答案】（1）
，
；（2）函數(shù)
，
，
奇偶性：偶函數(shù)；遞增區(qū)間：
，；遞減區(qū)間
，；零點(diǎn)：
，.
【解析】
（1）畫(huà)出點(diǎn)
的運(yùn)動(dòng)軌跡，即可得出
與
的值.
（2）根據(jù)所畫(huà)的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，即可寫(xiě)出函數(shù)
，
，的表達(dá)式與函數(shù)的基本性質(zhì).
（1）點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：
因?yàn)檎叫?/span>
的周長(zhǎng)為4,所以.
當(dāng)
，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度
（2） 當(dāng)
，時(shí)，其為以
為圓心，
為半徑的圓在
的部分，即
.
當(dāng)
，時(shí)，其為以
為圓心，
為半徑的圓在
的部分，即
當(dāng)
，時(shí)，其為以
為圓心，為半徑的圓在
的部分，即
.
當(dāng)
，時(shí)，其為以
為圓心，為半徑的圓在
的部分，即
.
所以函數(shù)
，，
由圖可知：
奇偶性：偶函數(shù)；遞增區(qū)間：
，；遞減區(qū)間
，；零點(diǎn)：，.
口算題卡北京婦女兒童出版社系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】曲線
的右焦點(diǎn)分別為
，短袖長(zhǎng)為
，點(diǎn)
在曲線
上，
直線
上，且
.
（1）求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）試通過(guò)計(jì)算判斷直線
與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).
（3）若點(diǎn)
在都在以線段
為直徑的圓上，且
，試求
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】
的內(nèi)角
，
，
的對(duì)邊分別為
，
，
，已知
，
，
.
（1）求角；
（2）若點(diǎn)
滿足
，求
的長(zhǎng).
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】對(duì)于函數(shù)
、
、
，如果存在實(shí)數(shù)
、
使得
，那么稱為、的生成函數(shù).
（1）若
，
，
，則是否分別為、的生成函數(shù)？并說(shuō)明理由；
（2）設(shè)
，
，
，
，生成函數(shù)，若不等式
在
上有解，求實(shí)數(shù)
的取值范圍；
（3）設(shè)
，
取
，
，生成函數(shù)圖象的最低點(diǎn)坐標(biāo)為
，若對(duì)于任意正實(shí)數(shù)
、
且
，試問(wèn)是否存在最大的常數(shù)
，使
恒成立？如果存在，求出這個(gè)的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
.
（1）討論函數(shù)
的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，證明：
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】設(shè)函數(shù)
、
滿足關(guān)系
，其中
是常數(shù).
（1）設(shè)
，
，求的解析式；
（2）是否存在函數(shù)及常數(shù)（
）使得
恒成立？若存在，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出函數(shù)及常數(shù)；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）已知
時(shí)，總有
成立，設(shè)函數(shù)
（
）且
，對(duì)任意
，試比較
與
的大小.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】設(shè)函數(shù)
（
為常數(shù)）.
（1）當(dāng)
時(shí)，求曲線
在
處的切線方程；
（2）若函數(shù)
在
內(nèi)存在唯一極值點(diǎn)
，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并判斷是在內(nèi)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn).
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】為了解少年兒童的肥胖是否與常喝碳酸飲料有關(guān)，現(xiàn)對(duì)30名六年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查得到如下列聯(lián)表：平均每天喝500
以上為常喝，體重超過(guò)50
為肥胖．
常喝 | 不常喝 | 合計(jì) | |
肥胖 | 2 | ||
不肥胖 | 18 | ||
合計(jì) | 30 |
已知在全部30人中隨機(jī)抽取1人，抽到肥胖的學(xué)生的概率為
．
（1）請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；
（2）是否有
的把握認(rèn)為肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)？說(shuō)明你的理由；
（3）已知常喝碳酸飲料且肥胖的學(xué)生中有2名女生，現(xiàn)從常喝碳酸飲料且肥胖的學(xué)生抽取2人參加電視節(jié)目，則正好抽到一男一女的概率是多少？
參考數(shù)據(jù)：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（參考公式：
，其中
）
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