Question

函數f（x）=cos2x+4asinx，x∈[

π

6

，

7π

6

]的最小值為g（a），求g（a）的表達式．

Answer 1

考點：三角函數的最值

專題：計算題,三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：運用二倍角的余弦公式，配方化簡f（x）的表達式，再令令t=sinx，由x的范圍，求出t的范圍，再由二次函數的對稱軸和區間的關系，即可得到最小值．

解答： 解：f（x）=cos2x+4asinx
=1-2sin²x+4asinx=-2（sinx-a）²+1+2a²，
令t=sinx，由于x∈[

π

6

，

7π

6

]，則t∈[-

1

2

，1]，
則h（t）=-2（t-a）²+1+2a²，
對稱軸t=a，
當a≤-

1

2

時，函數h（t）在t∈[-

1

2

，1]上遞減，則g（a）=1-2+4a=4a-1；
當-

1

2

＜a≤

1

4

，則h（-

1

2

）≥h（1），則g（a）=h（1）=4a-1，
當

1

4

＜a＜1，則h（-

1

2

）＜h（1），則g（a）=h（-

1

2

）=

1

2

-2a，
當a≥1時，函數h（t）在t∈[-

1

2

，1]上遞增，則g（a）=h（-

1

2

）=

1

2

-2a．
則g（a）=

4a-1，a≤ 1 4 1 2 -2a，a＞ 1 4

．

點評：本題考查三角函數的最值，考查二倍角公式的運用，及正弦函數的值域和單調性，考查分類討論的思想方法，以及二次函數在閉區間上的最值問題，屬于中檔題和易錯題．