Question

【題目】在三棱錐P﹣ABC中．側梭長均為4．底邊AC=4．AB=2，BC=2 ，D．E分別為PC．BC的中點． 〔I）求證：平面PAC⊥平面ABC．
（Ⅱ）求三棱錐P﹣ABC的體積；
（Ⅲ）求二面角C﹣AD﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵PA=PB=PC=AC=4， 取AC的中點O，連接OP，OB，可得：OP⊥AC，
，
∵ ，∴AC2=AB2+BC2 ， ∴△ABC為Rt△．
∴OB=OC=2，PB2=OB2+OP2 ， ∴OP⊥OB．
又∵AC∩BO=O且AC、OB面ABC，∴OP⊥平面ABC，
又∵OP平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．）
（Ⅱ）由（I）可知：OP⊥平面ABC，∴OP為三棱錐P﹣ABC的高，且OP= ．
直角三角形ABC的面積S= ．
∴VP﹣ABC= = ．
（Ⅲ）方法一：過點E 作EH⊥AC于H，過點H作HM⊥AD于M，
連接ME，∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，EH⊥AC，EH平面ABC，
∴EH⊥平面PAC，∴ME⊥AD（三垂線定理），
∴∠EMH即為所求的二面角的平面角．
∵E，D分別為中點，EH⊥AC，
∴在RT△HEC中： ， ，
∴
在RT△HMA中， ．
在RT△HME中， ．
∴ ．

【解析】（I）利用等腰三角形的性質即可得到OP⊥AC，再利用勾股定理的逆定理即可得到OP⊥OB，利用線面垂直的判定定理即可證明；（II）由（I）可知OP⊥平面ABC，故OP為三棱錐P﹣ABC的高，且OP= ，直角三角形ABC的面積S= ，再利用 即可得出．（III）過點E 作EH⊥AC于H，過點H作HM⊥AD于M，連接ME，由平面PAC⊥平面ABC，EH⊥AC，EH平面ABC，可得EH⊥平面PAC，于是ME⊥AD（三垂線定理），可得∠EMH即為所求的二面角的平面角．利用直角三角形的邊角關系求出即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解平面與平面垂直的判定(一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直)．